Tema 1: Algunas distribuciones de probabilidad continuas.
1.1 Distribución uniforme:
Descripción:
Se trata de una distribución de probabilidad continua en el intervalo \([a, b]\).
Función de densidad de probabilidad:
La función de densidad de probabilidad es:
$$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{si } a \leq x \leq b \ 0 & \text{si } x < a \text{ o } x > b \end{cases} $$
Función de distribución:
La función de distribución es:
$$ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < a \ \frac{x-a}{b-a} & \text{si } a \leq x \leq b \ 1 & \text{si } x > b \end{cases} $$
Medidas de tendencia central y dispersión:
- Esperanza matemática: \(E(X) = \frac{a+b}{2}\)
- Varianza: \(Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\)
Coeficientes de asimetría:
- Coeficiente de asimetría de tercer orden: \(g_1 = 0\)
- Coeficiente de asimetría de cuarto orden: \(g_2 = -\frac{6}{5}\)
1.2 Distribución Gamma:
Descripción:
La distribución Gamma es utilizada para modelar tiempos de espera hasta que ocurra un número determinado de eventos.
Función de densidad de probabilidad:
La función de densidad de probabilidad es:
$$ f(x; k, \theta) = \frac{1}{\Gamma(k)\theta^k} x^{k-1} e^{-\frac{x}{\theta}} $$
donde \(k\) es el parámetro de forma y \(\theta\) es el parámetro de escala.
Función de distribución:
La función de distribución es expresada con la función gamma incompleta:
$$ F(x; k, \theta) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \ \frac{1}{\Gamma(k)} \gamma(k, \frac{x}{\theta}) & \text{si } x \geq 0 \end{cases} $$
Medidas de tendencia central y dispersión:
- Esperanza matemática: \(E(X) = k\theta\)
- Varianza: \(Var(X) = k\theta^2\)
1.3 Distribución Exponencial:
Descripción:
La distribución exponencial modela el tiempo entre eventos en un proceso de Poisson.
Función de densidad de probabilidad:
La función de densidad de probabilidad es:
$$ f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x} $$
donde \(\lambda\) es la tasa de ocurrencia.
Función de distribución:
La función de distribución es:
$$ F(x; \lambda) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \ 1 - e^{-\lambda x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases} $$
Medidas de tendencia central y dispersión:
- Esperanza matemática: \(E(X) = \frac{1}{\lambda}\)
- Varianza: \(Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}\)
1.4 Distribución Beta:
Descripción:
La distribución Beta es utilizada para modelar variables aleatorias que tienen un rango limitado entre 0 y 1.
Función de densidad de probabilidad:
La función de densidad de probabilidad es:
$$ f(x; \alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)} $$
donde \(B(\alpha, \beta)\) es la función Beta.
Función de distribución:
La función de distribución es:
$$ F(x; \alpha, \beta) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \ I_x(\alpha, \beta) & \text{si } 0 \leq x \leq 1 \ 1 & \text{si } x > 1 \end{cases} $$
Medidas de tendencia central y dispersión:
- Esperanza matemática: \(E(X) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\)
- Varianza: \(Var(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\)
1.5 Distribución Normal:
Descripción:
La distribución normal es una de las distribuciones más comunes en estadísticas y modela muchos fenómenos naturales.
Función de densidad de probabilidad:
La función de densidad de probabilidad es:
$$ f(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$
donde \(\mu\) es la media y \(\sigma\) es la desviación estándar.
Función de distribución:
La función de distribución es:
$$ F(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{2} \left[1 + \text{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)\right] $$
Medidas de tendencia central y dispersión:
- Esperanza matemática: \(E(X) = \mu\)
- Varianza: \(Var(X) = \sigma^2\)