Algebra de Boole

Sea $B$ un coonjunto, se dice que $B$ tiene estructura de álgebra de Boole si está dotado de dos operaciones binarias, $\vee$ y $\wedge$ que satisfacen las siguientes propiedades:

$$ \begin{aligned} \text{Asociativa: } & \forall x, y, z \in B \quad (x \vee y) \vee z = x \vee (y \vee z) \ \text{Conmutativa: } & \forall x, y, z \in B \quad x \vee y = y \vee x \ \text{Distributiva: } & \forall x, y, z \in B \quad x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z) \ \text{Elementos neutros: } & \forall x \in B \quad \exists 0,1 \in B \text{ tal que } x \vee 0 = x \text{ y } x \wedge 1 = x \ \text{Existencia de complementos: } & \forall x \in B \quad \exists x’ \in B \text{ tal que } x \vee x’ = 1 \text{ y } x \wedge x’ = 0 \ \end{aligned} $$

Ejemplo: Sea $X$ un conjunto. El conjunto $P(X)$, donde $P(X)$ es el conjunto de todos los subconjuntos de $X$, con las operaciones de unión y de intersección, tiene estructura de álgebra de Boole.

$$ P(x) = { A \mid A \subseteq X } $$

por ejemplo, si $X = {a, b, c}$,

$$ P(X) = { {\varnothing} , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} } #(P(X)) = 2^{#(X)} = 2^3 = 8 $$

En general, si $X$ es un conjunto finito, entonces $#(P(X)) = 2^{#(X)}$

Ejemplos de estructuras de álgebra de Boole

Conjunto Boleano Clásico $B = {0, 1}$:
- Operaciones:
  - $\vee$ (Disyunción): $0 \vee 0 = 0, \quad 0 \vee 1 = 1, \quad 1 \vee 0 = 1, \quad 1 \vee 1 = 1$
  - $\wedge$ (Conjunción):$0 \wedge 0 = 0, \quad 0 \wedge 1 = 0, \quad 1 \wedge 0 = 0, \quad 1 \wedge 1 = 1$
- Propiedades:
  - Asociativa: $(x \vee y) \vee z = x \vee (y \vee z)$ y $(x \wedge y) \wedge z = x \wedge (y \wedge z)$
  - Conmutativa: $x \vee y = y \vee x$ y $x \wedge y = y \wedge x$
  - Distributiva: $x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)$
- Elementos neutros y complementos:
  - $0$ es el elemento neutro para $\vee$ y $1$ es el elemento neutro para $\wedge$.
  - Cada elemento $x$ tiene su complemento $x’$ tal que $x \vee x’ = 1$ y $x \wedge x’ = 0$.

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